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数学的危机ppt下载

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2019-03-14 15:33:25
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数学的危机ppt

这是数学的危机ppt,包括了第一次数学危机,危机往往是数学发展的先导,第二次数学危机,第三次数学危机,其它悖论,三次数学危机与“无穷”的联系,还会有第四次数学危机吗等内容,欢迎点击下载。

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数学危机 每一次数学危机,都是数学的基本部分受到质疑。 实际上,也恰恰是这三次危机,引发了数学史上的三次思想解放,大大推动了数学科学的发展。 一、第一次数学危机 公元前5世纪 爱琴海 毕达格拉斯 希帕斯 希帕斯的问题:边长为1 的正方形的对角线长是多少? 证明: 设对角线表示为m/n,m,n为互质的正整数 当时认为所有的数都能表示为整 数比,但突然发现 不能表为整数比。 其实质是: 是无理数,全体整数之比构 成的是有理数系,有理数系需要扩充,要 添加无理数。 希帕斯 科学精神绝非信仰 科学是批评的、疑问的、创造的、严谨的、求实的 科学工作中不容迷信和崇拜 危机往往是数学发展的先导 危机也意味着挑战, 危机的解决就意味着进步 二、第二次数学危机 十七世纪 牛顿 贝克莱大主教 “无穷小量” 初等数学----常量数学 高等数学------变量数学 1.危机的引发 1)牛顿的“无穷小” 求运动物体在某一时刻的瞬时速度 例如,设自由落体在时间 下落的距 离为 ,有公式 ,其中 是固 定的重力加速度。我们要求物体在 的 瞬时速度,先求 。 ∴ (*)   牛顿的这一方法很好用,解决了大量过去 无法解决的科技问题。但是逻辑上不严格,遭 到指责。 2)贝克莱的发难 英国的贝克莱大主教发表文章猛烈攻 击牛顿的理论。 贝克莱问道:“无穷小”作为一个量, 究竟是不是0? 贝克莱还讽刺挖苦说:即然 和 都变 成“无穷小”了,而无穷小作为一个量,既不是 0,又不是非0,那它一定是“量的鬼魂”了。          ————贝克莱悖论 对牛顿微积分的这一责难并不是由数学家 提出的,但是,牛顿及他以后一百年间的数学 家,都不能有力地还击贝克莱的这种攻击。 2.危机的实质 那么第二次数学危机的实质是     极限的概念不清楚,     极限的理论基础不牢固。 也就是说,微积分理论缺乏逻辑基础。 3.危机的解决 1)必要性 微积分虽然在发展,但微积分逻辑基 础上存在的问题是那样明显,这毕竟是数 学家的一块心病。 而且,随着时间的推移,研究范围的 扩大,类似的悖论日益增多。数学家在研 究无穷级数的时候,做出许多错误的证 明,并由此得到许多错误的结论。由于没 有严格的极限理论作为基础。数学家们在 有限与无限之间任意通行。 2)严格的极限理论的建立 到19世纪,一批杰出数学家辛勤、 天才的工作,终于逐步建立了严格的极限 理论,并把它作为微积分的基础。 严格的极限理论的建立是逐步的、漫长的。 ① 在18世纪时,人们已经建立了极 限理论,但那是初步的、粗糙的。 ② 达朗贝尔在1754年指出,必须用 可靠的理论去代替当时使用的粗糙的极限 理论。但他本人未能提供这样的理论。 ③ 19世纪初,捷克数学家波尔查诺 开始将严格的论证引入数学分析,他写的 《无穷的悖论》一书中包含许多真知灼见。 ④ 法国数学家柯西(A.L.Canchy,1789—1857)。   对极限给出比较精确的定义 (5)德国数学家魏尔斯特拉斯 (Karl Weierstrass,1815—1897)     一方面是建立了实数系,     另一方面是创造了精确的“ ”语言。  柯西的贡献在于,将微积分建立在极限论的基础。    魏尔斯特拉斯的贡献在于,逻辑地构造了实数系,建立了严格的实数理论,使之成为极限理论的基础。 建立微积分基础的“逻辑顺序”是:     实数理论—极限理论—微积分。 而“历史顺序”则正好相反。 “贝克莱悖论”的消除 把物体在 时刻的瞬 时速度定义为:上述平均速度当 趋于0 时的极限,即 物体在 时刻的瞬时速度= 。 瞬时速度= 然后再求极限得 上述过程所得结论与牛顿原先的结论 是一样的,但每一步都有了严格的逻辑基 础。“贝克莱悖论”的焦点“无穷小量 是 不是0?”,在这里给出了明确的回答: 三、第三次数学危机  到19世纪,数学从各方面走向成熟。  人们水到渠成地思索:整个数学的基础在哪里? 19世纪末,集合论出现了。人们感觉到, 集合论有可能成为整个数学的基础。 元素与集合关系: 罗素悖论的通俗化——“理发师悖论”:   某村的一个理发师宣称,他给且只 给村里自己不给自己刮脸的人刮脸。  问:   理发师是否给自己刮脸? 如果他给自己刮脸,他就属于自己给 自己刮脸的人,按宣称的原则,理发师不 应该给他自己刮脸,这与假设矛盾。如果 他不给自己刮脸,他就属于自己不给自己 刮脸的人,按宣称的原则,理发师应该给 他自己刮脸,这又与假设矛盾。 悖论在于:无论哪一种情况,都得出 矛盾。 其它悖论 “我说这句话时正在说谎” 问:这句话是真是假? 请在我手上写上一个“不”字 判断这件事是否会发生,若判断会发生,则写“是”,否则写“不”。 罗素的“集合论悖论”引发危机 正当弗雷格即将出版他的《算术基 础》一书的时候,罗素的集合论悖论出来 了。   这也是庞加莱宣布“完全严格的数学 已经建立起来!”之后刚刚两年,即1902 年。 集合论中居然有逻辑上的矛盾! 罗素悖论引发的危机,就称为第三次 数学危机。 4. 危机的消除 危机出现以后,包括罗素本人在内的 许多数学家作了巨大的努力来消除悖论。 当时消除悖论的选择有两种,一种是抛弃 集合论,再寻找新的理论基础,另一种是 分析悖论产生的原因,改造集合论,探讨 消除悖论的可能。 人们选择了后一条路,希望在消除悖 论的同时,尽量把原有理论中有价值的东 西保留下来。 1908年,策梅洛(E.F.F.Zermelo, 1871—1953)提出了由7条公理组成的集 合论体系,称为Z-系统。 1922年,弗兰克(A.A.Fraenkel) 又加进一条公理,还把公理用符号逻辑表 示出来,形成了集合论的ZF-系统。再后 来,还有改进的ZFC-系统。 这样,大体完成了由朴素集合论到公 理集合论的发展过程,悖论消除了。 但是,新的系统的相容性尚未证明。 因此,庞加莱在策梅洛的公理化集合论出 来后不久,形象地评论道:“为了防狼, 羊群已经用篱笆圈起来了,但却不知道圈 内有没有狼”。 这就是说,第三次数学危机的解决, 并不是完全令人满意的。 四、 三次数学危机与“无穷”的联系 三次数学危机都与无穷有关,也与人们对无穷的认识有关。 第一次数学危机的要害是不认识无理 数,而无理数是无限不循环小数,它可以 看成是无穷个有理数组成的数列的极限。 所以,第一次数学危机的彻底解决, 是在危机产生二千年后的19世纪,建立了 极限理论和实数理论之后。实际上,它差 不多是与第二次数学危机同时,才被彻底 解决的。 第二次数学危机的要害,是极限理论 的逻辑基础不完善,而极限正是“有穷过 渡到无穷”的重要手段。贝克莱的责难, 也集中在“无穷小量”上。 无穷与有穷有本质的区别. 由于人们习惯于有穷,习惯于有穷情况下的思维,所以一旦遇到无穷时,要格外地小心. 希尔伯特旅馆 房间数不是有限而是无穷多间, 房间号码为1,2,3,4,…… 这个旅馆的房间可排成一列的无穷集合(1,2,3,4,…),称为可数无穷集。 第一天 一个人 1号房间的客人搬到2号房间,2号房间的客人搬到3号房间……依此类推。最后1号房间空出来,请这位客人住下了。 第二天 一个团自然数个人 1号房间客人搬到2号,2号房间客人搬到4号……,k号房间客人搬到2k号,这样,1号,3号,5号,……房间就都空出来了,代表团的代表都能住下了。 第三天 自然数个代表团,每个团有自然数个成员 第四天 康托尔 区间 [0,1]上每一实数点都占一个房间 请提问 还会有第四次数学危机吗? 终极问题存在吗? 谢谢大家!

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